根据三点估算导数/Bessel Tangent方法

在曲线拟合问题中,通常需要根据已知曲线上的离散点,估算出曲线在端点处的导数(严格来说是导矢),常用的一种导数估计方法称为“Bessel Tangent”方法。

已知点\(P_{i-1},P_i,P_{i+1}\),求一种导数(矢)估算算法,计算\(P_{i-1}^\prime,P_i^\prime,P_{i+1}^\prime\)。Bessel tangent 算法的主要思路是,插值一条通过三点的二次曲线,然后通过计算曲线上三点的导数的方式给出三点的估计导数。

令 \(P_{i-1},P_{i},P_{i+1}\) 的参数分别为 \(t_{i-1},t_{i},t_{i+1}\)

插值的曲线的表达式如下:

$$P(t)=\frac{(t-t_i)(t-t_{i+1})}{(t_{i-1}-t_i)(t_{i-1}-t_{i+1})}(P_{i-1}-P_{i})+\frac{(t-t_{i-1})(t-t_{i})}{(t_{i+1}-t_{i-1})(t_{i+1}-t_{i})}(P_{i+1}-P_{i})+P_{i}\tag1$$

1) \(P_i\)导数

$$P(t_i)^\prime=\frac{t_i-t_{i+1}}{(t_{i-1}-t_i)(t_{i-1}-t_{i+1})}(P_{i-1}-P_{i})+\frac{t_i-t_{i-1}}{(t_{i+1}-t_{i-1})(t_{i+1}-t_{i})}(P_{i+1}-P_{i})$$

令 \(\triangle t_i = t_{i+1}-t_i;\triangle P_i=\frac{P_{i+1}-P_i}{\triangle t_i}\)

$$\begin{align}
P(t_i)^\prime&=\frac{t_i-t_{i+1}}{t_{i-1}-t_{i+1}}\triangle P_{i-1}+\frac{t_i-t_{i-1}}{t_{i+1}-t_{i-1}}\triangle P_{i}\\
&= \frac{t_i-t_{i+1}}{t_{i-1}-t_{i+1}}\triangle P_{i-1}+\frac{t_i-t_{i-1}}{t_{i+1}-t_{i-1}}\triangle P_{i} \\
&= \frac{\triangle t_{i}}{t_{i+1}-t_{i}+t_{i}-t_{i-1}}\triangle P_{i-1} + \frac{\triangle t_{i-1}}{t_{i+1}-t_{i}+t_{i}-t_{i-1}}\triangle P_{i}\\
&=\frac{\triangle t_{i}}{\triangle t_{i}+\triangle t_{i-1}}\triangle P_{i-1}+\frac{\triangle t_{i-1}}{\triangle t_{i}+\triangle t_{i-1}}\triangle P_{i} \tag2
\end{align}$$即\(P_i^\prime\)是\(\triangle P_{i-1}\),\(\triangle P_{i}\)的加权平均。

2)\(P_{i-1},P_{i+1}\)导数

根据公式(1)

$$\begin{align}
P(t_{i-1})^\prime&=\frac{2t_{i-1}-2t_{i+1}+t_{i+1}-t_{i}}{t_{i-1}-t_{i+1}}\triangle P_{i-1}+\frac{t_{i-1}-t_{i}}{t_{i+1}-t_{i-1}}\triangle P_{i}\\
&=2\triangle P_{i-1}-(\frac{\triangle t_{i}}{\triangle t_{i}+\triangle t_{i-1}}\triangle P_{i-1}+\frac{\triangle t_{i-1}}{\triangle t_{i}+\triangle t_{i-1}}\triangle P_{i})\\
&=2\triangle P_{i-1}-P(t_i)^\prime \tag3
\end{align}$$

$$\begin{align}
P(t_{i+1})^\prime&=-(\frac{\triangle t_{i}}{\triangle t_{i}+\triangle t_{i-1}}\triangle P_{i-1}+\frac{\triangle t_{i-1}}{\triangle t_{i}+\triangle t_{i-1}}\triangle P_{i} )+2\triangle P_i \\
&=2\triangle P_i-P(t_{i})^\prime \tag4
\end{align}$$

参数化的选择

对于三点的参数可以按照累计弦长化确定参数$$ \left\{
\begin{aligned}
t_{i-1} & = 0 \\
t_{i} & = t_0+|P_{i-1}P_i| \\
t_{i+1} & = t_1+|P_iP_{i+1}|
\end{aligned}
\right.
$$

我对算法的C++实现是:

参考资料:

The Essentials of CAGD : Chapter 11 Working with B Spline Curves 

于谦. 基于切向约束的二次B样条插值曲线的研究[D]. 山东大学, 2009.

根据三点估算导数/Bessel Tangent方法》上有5个想法

  1. 即\(P_i^\prime\)是\(\triangle P_{i-1}\),\(\triangle P_{i-1}\)的加权平均

    应为

    即\(P_i^\prime\)是\(\triangle P_{i-1}\),\(\triangle P_{i}\)的加权平均

    • 你好,现在已经对文章内容进行了增补,推导过程在公式(3)(4)中,就是对公式(1)求导后进行一些变换后得出的结果,供您参考

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