地图投影:高斯克吕格投影

地图投影是GIS领域中非常常见的概念。说到高斯克吕格投影,很多同学都耳熟能详,因为它是我国大中基本比例尺地形图使用的地图投影。但是如果涉及到高斯投影的具体性质,有人会犯迷糊了。所以,我将高斯克吕格投影的相关内容整理如下。

1.地图投影的用途以及分类

传统的地图(相较于google earth等3D平台)是呈现在二维的平面上的,所以需要一种能够将球面(地球)上三维坐标转化到二维平面的一种映射方法。这种方法就是地图投影。因此,地图投影是一种由经纬度(B,L,H)到投影坐标(X,Y,Z)的映射方式。

地图投影的用途,就是建立一种平面坐标系(称为投影坐标系),很多计算、业务在平面上计算相较与曲面上计算要简便一些。比如说(1)球面上,纬度相同,同样经度差的两点,处在不同的纬度上的距离就是不一样的。这给计算带来了不便。欧几里得平面上就不存在这个问题。(2)很多经典的GIS软件,比如ArcMap,MapInfo等,其基本框架,包括渲染、编辑等功能都是基于2D平面开发的,这也和我们对地图的要求一致。(3)在允许变形的范围内,建立统一的平面坐标系,强调这一点,是因为在设计地图投影时,地图的范围也是需要考虑的重要因素。

将球面上的目标展平到平面上,目标必然发生“压缩”或者“拉伸”。根据变形的性质,地图投影可以分为

  1. 等角投影,即投影后目标在各个方向上变形一致,总体保持角度不变。
  2. 等面积投影,假设目标上存在一个微分圆,如果投影后圆面积不变,此投影为等面积投影。
  3. 任意投影,即投影后面积和角度均发生变化的投影。

按照投影的方式,地图投影可以分为圆柱投影,圆锥投影,方位投影等方式。高斯克吕格投影是一种圆柱投影

按照投影面(圆柱、圆锥,平面)主轴与地轴(连接南北极的短轴)相对位置的关系,投影又可以分为正轴投影、横轴投影、斜轴投影三种方式。如上图,投影面主轴与地轴同向,即为正轴投影。如果垂直,即为横轴投影。其他情况是斜轴投影。

按照投影面与参考椭球的相对位置关系,投影可以分为切投影和割投影。

2.高斯投影的投影性质

高斯克吕格是一种 横轴等角切圆柱投影。其示意图如下:

投影面为圆柱(椭圆柱)与某一条子午线相切,圆柱的主轴通过赤道面。相切的子午线称之为中央子午线或者中央经线。按照高斯克吕格投影规定的条件,将中央子午线东西一定经度差范围内的经纬线交点投影到圆柱面上,展开即为高斯克吕格投影。

 

投影后,经线收敛到南北极点,经线与纬线处处正交。除了中央经线与赤道,其他经纬线均不是直线。

高斯克吕格投影有如下性质:

  1. 投影是等角投影。
  2. 中央经线投影后保持长度不变。
  3. 除了在中央经线之外,变形长度比均大于1,即投影后的目标均被“拉伸”了。
  4. 在同一条纬线上,距离中央经线越远,变形越大,变形最大值位于投影带边缘上。
  5. 在用一条经线上,纬度越低,变形越大。变形最大值位于赤道上。

综合4,5条,高斯克吕格投影变形最严重的区域位于赤道在投影带的边缘处。

3.高斯直角坐标系

因为经度差越大变形越大,所以在实际应用中,高斯投影会限制经度差的值。我国常用的经度差有3度和6度两种。按照不同的中央经线,高斯投影可以分为多个度带。

如上图是不同分度带的高斯投影的情况,就好像剥开的橘子皮一样。

以中央经线为纵轴X,赤道为横轴Y,可以建立高斯直角坐标系。为了不与笛卡尔坐标系的x,y轴混淆,我们通常不提高斯直接坐标系的X,Y轴,而是以纵/横轴,北方向/东方向代替。

因为每一个高斯分度带均有一样的坐标系,为了建立统一坐标系,我国将高斯分带带号放在横轴左边前面。因为中央经线以西的横坐标默认为负值,所以我国将纵轴从中央经线向西移动500公里,保证所有的横坐标都是正值。

我国领土跨越13~23共11个3度带,24~45共22个3度带,一般横坐标为几百公里,加上度带号为8位数字(不算小数点),纵坐标一般是几千公里,为7位数字。这样给有些算法带来了可能的风险:因为坐标位数过大,执行有些算法时可能存在数字溢出的可能性。因此,参与某些计算时,需要对坐标进行平移。

4.高斯克吕格投影在我国的应用

我国基本比例尺地形图中,除1:1000 000采用正轴等角割圆锥投影之外,1:500 000,1:250 000,1:100 000,1:50 000,1:10 000均采用的是高斯克吕格投影。其中,1:10 000投影采用的是3度分带,其他比例尺采用的为6度分带。在工程应用中,更大比例尺的地图可以采用1.5度分带甚至任意分带。

需要注意的是,因为高斯克吕格投影在我国广泛使用,使得一些同学一提到平面坐标系,就默认为高斯克吕格投影不可。我在工作中遇到过这样的问题。某个业务场景需要采用其他投影坐标系,就收到了一些为什么不用高斯克吕格坐标系的疑问。其实,地图投影的选用还是要结合业务要求来看,并非大比例尺地图均使用高斯坐标系。比如说航海图采用的就是墨卡托(正轴等角圆柱投影),因为其投影后的经纬线均为直线,测量方位非常方便。

5.子午收敛角以及三北方向

在高斯投影中,除了中央经线,其他经线均不与坐标纵线平行。有个同学在计算方位角等需要“正北方向”的情况时用坐标纵轴代替。严格的来说,一个点的“正北方向”指的是过此点的纬线的方向。正北方向(称为真北方向)与坐标北方向之间存在夹角,这个角度叫做子午收敛角。

如上图,红色的为经纬网,蓝色的为方里网,上面两处标识了坐标北(Grid North)与真北(True North)之间的子午收敛角。

坐标北与真北构成了两个北方向,因为导航设备采用磁北指示北方,而磁北与真北相异。这三个方向构成了所谓的三北方向。

6.Web Mercator 投影

Web Mercator 投影本与高斯克吕格无近亲关系,它是一种正轴“等角”圆柱投影。与“墨卡托”投影是同宗。之所以顺便提到,是因为它在如今的互联网地图行业大名鼎鼎,自从谷歌地图采用后便成为在线地图的事实标准,为大多数厂家所采用。只不过其参考椭球采用的是标准圆球,其他计算方法与墨卡托投影一致。因而其会出现轻微的不等角现象,所以并非严格等角投影。关于其具体的性质,计划后续写帖子详细说明,这里简言一二,不做详述。

7.参考材料

  1. 胡毓钜,龚剑文. 地图投影[M]. 测绘出版社, 1992.
  2. 孔祥元. 大地测量学基础[M]. 武汉大学出版社, 2010.
  3. Mercator Projection
  4. Web Mercator
  5. 潘正风, 杨正尧. 数字测图原理与方法[M]. 武汉大学出版社, 2002.

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