Bezier曲线(四): 曲线升阶(degree elevation)

因为n阶bezier曲线的控制点个数为固定的n+1个,如果需要通过增加控制点个数达到更灵活控制bezier曲线的目的,那么需要将bezier曲线的阶数增加,同时保持曲线的形状不发生变化。

假设n阶bezier曲线的控制点序列分别为\(P_0,P_1,…,P_n\)共n+1个,如果要将曲线升阶到n+1阶,则要产生n+2个控制点。因为曲线的形状不变,n+2个点的首点,尾点仍然是\(P_0,P_n\)。假设新的控制点序列为\(Q_0,Q_1,…,Q_n,Q_{n+1}\),那么\(Q_0=P_0;Q_{n+1}=P_n\)余下n个点的计算公式是:$$Q_i=\frac{i}{n+1}P_{i-1}+(1-\frac{i}{n+1})P_i; i \in [1,n]$$

观察这个公式,可以看出 \(Q_i\)是线段\(P_{i-1}P_i\)上的一点,并且将线段分为\(\frac{i}{n+1}:(1-\frac{i}{n+1})\)两部分。这个方法与德卡斯特里奥(De Casteljau’s)算法非常相近,都是对原始控制点进行“切角”。不过,德氏算法每次切角都按照固定的比例u切割,升阶算法的比例却是与i相关的。

如上图,为四阶bezier曲线升阶到5阶后的效果。红色点为原始点,蓝色点为升阶后的新控制点,可见新控制点为对原始控制点进行定比分点后生成的。值得注意的是,通过“切角”运算,新的控制点总是离bezier曲线更近。

下面给出计算升阶后的新控制点的程序

下图是3阶Bezier曲线升阶到4阶后在AutoCAD中的展现。可以看见,除了首尾控制点外,新曲线的控制点均在原始曲线的控制多边形上。

 


本文参考Introduction to Computing with Geometry 第五章第七节。

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