Bezier曲线(三)Bezier曲线的求导和打断

业务中使用曲线的目的,主要是因为曲线具有高阶导数连续的特点。比如设计公路,不仅要求方向连续(\(G^1\)),而且还要求曲率连续。因此,求导是bezier曲线的一项基本而且重要的功能。

1.导数公式的推导

bezier曲线的矩阵形式如下:$$C(u) = \begin{bmatrix}B_0&B_1& \cdots & B_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}P_0\\P_1\\ \cdots \\ P_n\end{bmatrix}$$因为参数只存在于矩阵左边部分,因此分别对基函数求导即可。按照基函数的定义形式,对参数u求导,并且将结果重组,可以得到如下形式:$$B_{n,i}^\prime(u) = n(B_{n-1,i-1}(u) – B_{n-1,i}(u))$$ 当i=0时,\(B_{n-1,i-1}(u)=0\)  为了表达简便,令\(b_i = B_{n-1,i}(u)\) $$ C^\prime(u) = n \begin{bmatrix} b_0& \cdots & b_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} P_1 \\ \cdots \\ P_{n}  \end{bmatrix} +  n\begin{bmatrix} b_0& \cdots  & b_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -P_0 \\ \cdots  \\ -P_{n-1} \end{bmatrix} =\\ n\begin{bmatrix} b_0& \cdots & b_{n-2} & b_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} P_1-P_0 \\ \cdots \\ P_n-P_{n-1}  \end{bmatrix} =  n \sum_{i=0}^nB_{n-1,i}(u)(P_{i+1}-P_i)$$共n-1项。可见,n阶bezier曲线的导数是由n-1阶bezier曲线得到的。对应n阶曲线上u的切矢量为n-1阶曲线上的u点的值。而这个导数构成的曲线的控制点序列为$$Q_i = n(P_{i+1}-P_i) ; i \in [0,n-1]$$

2.导数的计算

已知n阶bezier曲线的导数是n-1阶bezier曲线 \(C^{\prime}(u) =sum_{i=0}^nB_{n-1,i}(u)Q_i \),因此bezier曲线的求导可以转换为对低阶曲线的求值操作,可用德卡斯特里奥(De Casteljau’s)算法计算。

3.bezier首尾点的导数

在bezier曲线的定义中我们推导过,bezier曲线的首尾点与其首个,末尾控制点重合。因为bezier曲线的导数也形成bezier曲线,因此在u=0时的导数为\(n(P_1-P_0)\),在u=1时的导数为\(n(P_{n}-P_{n-1})\),也就是说,曲线在首尾处的切线与其首个、末尾处的控制点的方向是一致的!这是一个非常棒的性质,使得bezier曲线的修型更简单了,无怪乎得到了设计人员的青睐。下图可以看到这种现象:

4.连接两根bezier曲线并保证方向一致

当图像由多个bezier曲线构成,并且要求曲线接头的时候方向连续(\(C^1\))。比如,要求m阶bezier曲线(\(P_0,\cdots,P_m\))与n阶bezier曲线(\(Q_0,…,Q_n\))在\(P_m\)与\(Q_0\)连续,首先要求\(Q_0=P_m\),然后 导数相等 \(m(P_m-P_{m-1}) = n(Q_1-Q_0)\)。这说明三点共线,并且满足一定的模长关系达到\(C^1\)。如下图:

当三者仅共线时,曲线满足\(G^1\)。\(C^1\)与\(G^1\)的区别可以打个比方,假如曲线为两段公路,\(C^1\)曲线可以保证方向和速度连续变化,但是\(G^1\)曲线只能保证方向连续。

当m=n时,当且仅当\(P_{m-1}P_m\)与\(P_mQ_1\)的长度一样并且三者共线时,曲线保证\(C^1\)连续。我用coreldraw学习做地图时,感觉coreldraw的bezier曲线的工具非常好用。它用一个等长度的手柄保证bezier接头处方向连续。如下图中的虚线:

手柄的端点即为控制点。默认接边时,调节鼠标所在端点时,其对称的控制点也会相应移动保证方向连续。其中的数学原理估计很多设计人员是不了解的,但是丝毫不影响coreldraw成为非常易用的工具,这就是好的产品的特点。

5.高阶导数

参数曲线的m阶导数的递推公式为m-1阶导数曲线的一阶导数。$$f^{(m)}(u)=\frac{d}{du}f^{(m-1)(u)}$$以bezier的二阶导数为例,$$C^{\prime\prime} = \sum_{i=0}^{n-2}B_{n-2,i}(u)\{(n-1)(Q_{i+1}-Q_i)\} \\ =(n)(n-1)\sum_{i=0}^{n-2}B_{n-2,i}(u)\{P_{i+2}-2P_{i+1}-P_i\}$$

以此类推。

6.bezier曲线的打断

所谓打断bezier曲线,是指在给定参数u处,将原bezier曲线分成两段,其形状保持不变,阶次保持不变,打断后的两段仍然是bezier曲线。但是,每一段曲线有自己新的控制点序列与参数区间,原来的\(u\in[0,1]\)分裂为独立的\(t\in[0,1];r\in[0,1]\)。

德卡斯特里奥(De Casteljau’s)算法  可以用来完成新控制点的计算,回想一下,deCasteljau方法进行对原始控制点进行n次“切角”运算,最后一次切角的结果就是对应u的点。其实,每个迭代形成的新的点列的首点与尾点,分别构成了在u处打断的两条beizier曲线的新控制点序列。如下图示,黑色线是左侧bezier曲线的新控制点,红色线是右侧bezier的新控制点。

我的算法实现如下:

下图是上述程序对bezier曲线在\(u=0.4\)打断后的效果 写入dwg在AutoCAD中的展现。1为原始bezier曲线,2,3为打断后bezier曲线。


本节参考 Introduction to Computing with Geometry 第五,六节

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