B-Spline(二)基函数

B样条的形式与Bezier曲线的定义方式相同:\(C(u) = \sum_{i=0}^n N_{i,n}(u)P_i \) 但是其基函数的形式有很大的变化。重要的一个不同是,B样条的基函数是定义在一组参数区间上的。这一节,我将介绍B样条的基函数。

令U为m+1个非递减的参数\(\{u_0\le u_1  \le … \le u_m\}\) 每个\(u_i\)叫做节点,U成为节点序列(Knot Vector),半闭半开区间\([u_i,u_{i+1})\)称为第i个节点区间(knot span)。基函数的节点是允许存在重复的,如果\(u_i\)出现了k次(k>1),那么称其为k重节点。如果\(u_i\)仅出现一次,那么称其为简单节点。如果说所有的\([u_i,u_{i+1})\)区间的长度都是一样的,那么称节点区间为均匀区间,反之称为非均匀区间。“非均匀有理B样条”就是说其节点区间为非均匀的。节点将区间\([u_0,u_{m}]\)分成多段。但是考虑\(N_{i,p}(u)\)时,可以认为其定义域是在\([u_0,u_{m}]\)上的,但是其只在有限的区间上非0,因此,对比Bezier曲线的基函数,B样条的基函数是比较局部的。

B样条的基函数由三个参数决定:阶数p,参数u,第i个基函数。B样条的基函数由递归公式给出:$$ N_{i,0}=\left\{\begin{aligned}1&  & u \in [u_i,u_{i+1}) \\0 &  & otherwise \end{aligned}\right. \\ N_{i,p}(u)=\frac{u-u_i}{u_{i+p}-u_i}N_{i,p-1}(u) + \frac{u_{i+p+1}-u}{u_{i+p+1-u_{i+1}}}N_{i+1,p-1}(u)$$

上述表达式被称为 Cox-de Boor 迭代式。这个式子看起来比较复杂,实则不难理解。为了理解方便,我们可以以5阶B样条的基函数为例,看一下\(N_{0,5}\)的计算

\(N_{0,5}\)为\(N_{0,4}\),\(N_{1,4}\)的线性组合,\(N_{0,4}\),\(N_{1,4}\)又分别是\(N_{0,3}\),\(N_{1,3}\),\(N_{2,3}\)的线性组合……经过五次迭代后,可以得出\(N_{0,5}\)为5次多项式,而且其在区间\([u_0,u_6)\)上非0。

下图可以分析上述线性组合系数的含义。

根据deBoor迭代式,\(N_{i,p}\)由\(N_{i,p-1}\),\(N_{i+1,p-1}\)组合而成。\(N_{i,p-1}\)在区间\([u_i,u_{i+p})\)上非零。\(N_{i+1,p-1}\)在区间\([u_{i+1},u_{i+p+1})\)上非零。可以分情况讨论

  1. 当\(u\in [u_i,u_{i+1})\)时,\(N_{i+1,p-1}=0\),\(N_{i,p}\)仅由\(N_{i,p-1}\)决定。系数为\(uu_i\)占\(u_iu_{i+p}\)(蓝线)的比例。
  2. 当 \(u\in[u_{i+p},u_{i+p+1})\)时,\(N_{i,p-1}=0\),\(N_{i,p}\)仅由\(N_{i+1,p-1}\)决定。系数为\(uu_{i+p+1}\)占\(u_{i+1}u_{i+p+1}\)(红线)的比例。
  3. 当 \(u\in[u_{i+1},u_{i+p})\)时,两项都不为零,\(N_{i,p}\)为二者的线性组合,系数与上述相同。

基函数的性质

为了讨论基函数的性质,我有必要先贴出一个nurbs基函数的flash的链接,大家可以下载后设置打开方式为chrome/firefox/IE自行浏览。

http://geometrie.foretnik.net/files/NURBS-en.swf

这个动画非常直观的表现了基函数的所有性质,需要认真的实验即便细细体会。

  1. n阶B样条的基函数为n次多项式。\(N_{0,5}\)的图里可以看到。
  2. 非负性。所有的\(N_{i,p} \ge 0\)。如下图,可以看到所有的曲线都位于坐标轴上方。
  3. 局部性。对\(N_{0,5}\)的观察推而广之,可以得出\(N_{i,p}\)在区间\([u_i,u_{i+p+1})\)上非零。结合下图,可以看到每个基函数仅在有限个区间上非零。
  4. 反过来看,在区间\([u_i,u_{i+1})\)上,非零的基函数非别为 \(N_{i-p},…,N_i\)共p+1个。当然,通过\(i-p \ge 0\)得出,当\(i <p\)时,非零基函数小于p+1个。因此在区间\([u_i,u_{i+1})\)上,非零基函数至多为p+1个。结合下图中的黑线,可以看到在0.5与1.0间随便取一个参数u,其对应曲线有4个非零值。
  5. 单位分解率。在区间\([u_i,u_{i+1})\)上,非零基函数 \(N_{i-p},…,N_i\)的和为1。这一点与bezier曲线的基函数性质相同(当然了,bezier曲线只是B样条的一个子集)。
  6. 如果节点的数量为m+1个,控制点的个数为n+1个,则存在等式m=n+p+1。因为最后一个基函数\(N_{n,p}\)在区间\([u_n,u_{n+p+1})\)上非零。所以说\(u_{n+p+1}=u_m\)为最后一个节点。这个等式,我们后面会经常用来确定节点与控制点的个数关系。
  7. 基函数在其非零区间中是由多段多项式函数组合而成的。实际上,在每个节点区间上,基函数拥有独立的多项式系数。
  8. 如果一个节点u的重复度为k,那么任意基函数在u处的连续性为\(C^{n-k}\)。

基函数的性质说明

节点多重性的影响

当学到调整节点区间时,我们将会看到通过制造多重节点带来的特殊效果。这里,我的角度与Dr.Shene有点不同,我们暂时可以认为多重节点在基函数方面没有表现出特殊的性质,即:长度为0的区间也是有效的区间。


Introduction to Computing with Geometry 

Architecture, geometry and computers

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