B样条的形式与Bezier曲线的定义方式相同：\(C(u) = \sum_{i=0}^n N_{i,n}(u)P_i \) 但是其基函数的形式有很大的变化。重要的一个不同是，B样条的基函数是定义在一组参数区间上的。这一节，我将介绍B样条的基函数。
令U为m+1个非递减的参数\(\{u_0\le u_1 \le … \le u_m\}\) 每个\(u_i\)叫做节点，U成为节点序列(Knot Vector)，半闭半开区间\([u_i,u_{i+1})\)称为第i个节点区间(knot span)。基函数的节点是允许存在重复的，如果\(u_i\)出现了k次(k>1),那么称其为k重节点。如果\(u_i\)仅出现一次，那么称其为简单节点。如果说所有的\([u_i,u_{i+1})\)区间的长度都是一样的，那么称节点区间为均匀区间，反之称为非均匀区间。“非均匀有理B样条”就是说其节点区间为非均匀的。节点将区间\([u_0,u_{m}]\)分成多段。但是考虑\(N_{i,p}(u)\)时,可以认为其定义域是在\([u_0,u_{m}]\)上的,但是其只在有限的区间上非0，因此，对比Bezier曲线的基函数，B样条的基函数是比较局部的。
B样条的基函数由三个参数决定：阶数p，参数u，第i个基函数。B样条的基函数由递归公式给出：$$ N_{i,0}=\left\{\begin{aligned}1& & u \in [u_i,u_{i+1}) \\0 & & otherwise \end{aligned}\right. \\ N_{i,p}(u)=\frac{u-u_i}{u_{i+p}-u_i}N_{i,p-1}(u) + \frac{u_{i+p+1}-u}{u_{i+p+1-u_{i+1}}}N_{i+1,p-1}(u)$$
上述表达式被称为 Cox-de Boor 迭代式。这个式子看起来比较复杂，实则不难理解。为了理解方便，我们可以以5阶B样条的基函数为例，看一下\(N_{0,5}\)的计算
\(N_{0,5}\)为\(N_{0,4}\)，\(N_{1,4}\)的线性组合，\(N_{0,4}\)，\(N_{1,4}\)又分别是\(N_{0,3}\),\(N_{1,3}\),\(N_{2,3}\)的线性组合……经过五次迭代后，可以得出\(N_{0,5}\)为5次多项式，而且其在区间\([u_0,u_6)\)上非0。
下图可以分析上述线性组合系数的含义。
根据deBoor迭代式，\(N_{i,p}\)由\(N_{i,p-1}\),\(N_{i+1,p-1}\)组合而成。\(N_{i,p-1}\)在区间\([u_i,u_{i+p})\)上非零。\(N_{i+1,p-1}\)在区间\([u_{i+1},u_{i+p+1})\)上非零。可以分情况讨论
- 当\(u\in [u_i,u_{i+1})\)时，\(N_{i+1,p-1}=0\)，\(N_{i,p}\)仅由\(N_{i,p-1}\)决定。系数为\(uu_i\)占\(u_iu_{i+p}\)（蓝线）的比例。
- 当 \(u\in[u_{i+p},u_{i+p+1})\)时，\(N_{i,p-1}=0\)，\(N_{i,p}\)仅由\(N_{i+1,p-1}\)决定。系数为\(uu_{i+p+1}\)占\(u_{i+1}u_{i+p+1}\)（红线）的比例。
- 当 \(u\in[u_{i+1},u_{i+p})\)时，两项都不为零，\(N_{i,p}\)为二者的线性组合，系数与上述相同。
基函数的性质
为了讨论基函数的性质，我有必要先贴出一个nurbs基函数的flash的链接，大家可以下载后设置打开方式为chrome/firefox/IE自行浏览。
http://geometrie.foretnik.net/files/NURBS-en.swf
这个动画非常直观的表现了基函数的所有性质，需要认真的实验即便细细体会。
- n阶B样条的基函数为n次多项式。\(N_{0,5}\)的图里可以看到。
- 非负性。所有的\(N_{i,p} \ge 0\)。如下图，可以看到所有的曲线都位于坐标轴上方。
- 局部性。对\(N_{0,5}\)的观察推而广之，可以得出\(N_{i,p}\)在区间\([u_i,u_{i+p+1})\)上非零。结合下图，可以看到每个基函数仅在有限个区间上非零。
- 反过来看，在区间\([u_i,u_{i+1})\)上，非零的基函数非别为 \(N_{i-p},…,N_i\)共p+1个。当然，通过\(i-p \ge 0\)得出,当\(i <p\)时，非零基函数小于p+1个。因此在区间\([u_i,u_{i+1})\)上，非零基函数至多为p+1个。结合下图中的黑线，可以看到在0.5与1.0间随便取一个参数u,其对应曲线有4个非零值。
- 单位分解率。在区间\([u_i,u_{i+1})\)上，非零基函数 \(N_{i-p},…,N_i\)的和为1。这一点与bezier曲线的基函数性质相同（当然了，bezier曲线只是B样条的一个子集）。
- 如果节点的数量为m+1个，控制点的个数为n+1个，则存在等式m=n+p+1。因为最后一个基函数\(N_{n,p}\)在区间\([u_n,u_{n+p+1})\)上非零。所以说\(u_{n+p+1}=u_m\)为最后一个节点。这个等式，我们后面会经常用来确定节点与控制点的个数关系。
- 基函数在其非零区间中是由多段多项式函数组合而成的。实际上，在每个节点区间上，基函数拥有独立的多项式系数。
- 如果一个节点u的重复度为k,那么任意基函数在u处的连续性为\(C^{n-k}\)。
节点多重性的影响
当学到调整节点区间时，我们将会看到通过制造多重节点带来的特殊效果。这里，我的角度与Dr.Shene有点不同，我们暂时可以认为多重节点在基函数方面没有表现出特殊的性质，即：长度为0的区间也是有效的区间。
Introduction to Computing with Geometry
Architecture, geometry and computers