B-Spline(三)样条曲线的性质

本节的目标为介绍B样条曲线的定义,以及其重要性质。这些性质,对样条曲线的应用起了决定性的作用。

1.定义: 

与Bezier曲线的定义相似,B样条曲线的定义是:给定n+1个控制点\(\{P_0,P_1,…,P_n\}\),m+1个节点\(\{u_0,u_1,…,u_m\}\),p阶B样条曲线\(C(u)=\sum_{i=0}^n N_{i,p}(u)P_i\)。相对Bezier曲线不同之处在于:

  1. B样条 的控制点个数与曲线次数无关,因此B样条的自由度更大,可以定义很多控制点又不用担心曲线次数过高而计算困难。
  2. B样条有多个节点区间,使得其为分段函数,而Bezier曲线只有一个区间。

二者的联系是:

  1. B样条上任意一个区间\([u_i,u_{i+1})\)上的曲线的定义都是一个Bezier。因此可以将B样条转为分段bezier曲线。
  2. Bezier是一种特殊的样条曲线。后面会详细分析。

2.性质

因为是bezier曲线的一般形式,B样条曲线的很多性质都和bezier曲线相同。而且,B样条有很多更好的性质。一条由n+1个控制点,m+1个节点,p次(m=n+p+1)的B样条曲线有如下性质:

  1. B样条上任意一个区间\([u_i,u_{i+1})\)上的曲线的定义都是一个Bezier曲线。相对于bezier曲线,B样条曲线能够更好的控制曲线形状。如下图,左侧是11个控制点构成的3次样条曲线,右侧是同样控制点构成的10次Bezier曲线,其曲线可控制性要比样条曲线差。如果定义一样的控制点,阶次越低,曲线离控制点就越远。当然了,如果曲线的阶次为1,那么曲线就是控制多边形本身==!。
  2. m,n,p必须要满足的关系是m=n+p+1。这个在基函数的定义里面就证明了。
  3. “clamped”B样条(如上图左),就是首尾节点重复度分别为p+1的样条,曲线的首尾点分别和首尾控制点相同。这个和bezier曲线一样。如何证明呢?可以将u=0带入de-Boor迭代式中求解,只不过,因为重复节点(0长度区间)的存在,我们需要定义\(\frac{0}{0}=0\)。实际上,可以通过上节我介绍的swf文件直接观察B样条基函数的情况。如下图,\(N_0,N_6\)在节点区间首末点处均为1,其他基函数为0,那么带入B样条,可以得出\(C(0)=P_0;C(1)=P_6\)。
  4. 强凸包性:对应区间\([u_i,u_{i+1})\)上曲线一定在由p+1个控制点\(P_{i-p},…,P{i}\)构成的凸包之中。因为在这段区间上,\(N_{i-p},…,N{i}\)是大于0的(原文为非0),而且根据基函数的性质,几者相加等于1,那么中间的曲线相当于这几个点的“加权平均”,自然位于其凸包之内。所谓强凸包性,指的是曲线要比凸包要小的多。这个性质在曲线的折线化(离散)时非常有用。如果我们能让控制点构成直线,那么对应的曲线也能形成直线。
  5. 局部修改模式:修改控制点\(P_i\),那么其影响的曲线范围仅限于区间\([u_i,u_{i+p+1}\)。对应的是基函数的非零范围。因此,大家可以记住,\(N_i\)与\(P_i\)是一对,如果\(N_i\)非零,那么\(P_i\)的变化就会对对应区间产生影响。在实际生产中,用户通常通过加入节点,增加节点个数的方式获取更多的控制点,进而利用B样条的局部修改模式细化调整曲线,而不影响曲线整体走势。
  6. 样条曲线在节点处的连续性为\(C^p\),在重复度为k的节点处的连续性为\(C^{p-k}\)。普通节点的重复度为1。因为\(C^2\)已经能够保证曲率连续了,所以在一般的业务应用中,三次(cubic)样条曲线最为常用。
  7. 变差减少性(Variation Diminishing Property):这条性质与Beizier曲线的相近,如果一条直线与样条曲线的控制多边形的交点数为N,那么这条直线与样条曲线的交点数应该不大于N。
  8. Bezier曲线是特殊的样条曲线。因为Bezier曲线的控制点个数为次数+1,所以,当将样条曲线的控制点取p+1个,节点序列取\(\{0,0,…,0,1,1,…1\}\)曲线即为bezier曲线。
  9. 仿射不变性:这一条的意思是,如果需要对样条曲线做变换,那么只需要对其控制点序列做变换就可以了。其参数区间,次数保持不变。非常好的性质。

    补充,当\(u=u_i\)时,\(N_i=0\)。而且对应区间上至多有p+1个非零基函数。因此性质第4条强凸包性应该是在区间\((u_i,u_{i+1})\)且p<i<m-p时成立。

B样条的优点:

如我在Nurbs历史中谈到的,B样条是对贝塞尔曲线的一般化。因而,Bezier曲线能表达的,B样条也同样可以。而且,因为B样条引入了控制点个数与曲线阶次无关的特性,使得我们可以对低阶曲线有了更好的控制能力。而且,通过对节点序列的控制,使得我们对曲线有自由的调节能力。”NURBS”代表的非均匀有理B样条,我们就差“有理”没有接触了。B样条仍然是多项式曲线,不能用来表达圆,圆锥曲线等有理曲线,所以NURBS是B样条的更一般化的形式,可以表达上述有理曲线。


本节参考:Introduction to Computing with Geometry  : B-Spline Definition & Important Properties

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