本系列的主题是“NURBS”，但是大部分篇幅集中与Bezier(B Spline的特殊形式)，B Spline。之所以这么安排，是因为NURBS与B样条可以轻松的互相转换，B样条的计算方法，均可以应用到NURBS(非均匀有理B样条)上。 Continue reading →

与Bezier曲线的打断方法类似，B样条的打断利用了de Boor算法。并且结合B样条的强凸包性，我们可以推算出一种有效的B样条折线化方法。因此，本节是对前面几节内容的一个综合应用，后面，我的分享也主要面向应用。 Continue reading →

节点插入的含义是在不改变曲线形状的前提下，向节点序列(knot vector)中插入节点。节点插入的出发点与Bezier曲线的升阶一样，都是想增加控指点的数量以增加曲线的自由度。在不考虑改变曲线阶次的情况下，根据 m=p+n+1的等式，节点数加一，控制点数量加一。 Continue reading →

求导是参数曲线非常最重要的功能之一。比如切线计算、曲线拟合等等。本节的主要目的是介绍B样条曲线求导的方法。(ps:因为内容里含有矩阵，如果没有正确显示请刷新一下)。 Continue reading →

给定参数u,计算参数曲线上对应点的运算称为求值(Evalute)操作。反之，称之为求解(Solve)。这一节的目标是介绍德布尔(de Boor)在1972年提出的数值稳定的求值方法。它是德利斯特里奥(De Casteljau’s)算法的一般化形式。 Continue reading →

在基函数的性质中我们已经学习过，B样条基函数\(N_{i,p}\)的作用范围是局部的，因此与Bezier曲线不同，移动控制点\(N_{i,p}\)对B样条的影响是局部的。而且，通过基函数“强凸包性”的特点，我们可以推导出若干样条曲线修型的技巧。 Continue reading →

与Bezier曲线一样，B样条对于给定参数u求曲线上点的算法都不是通过计算基函数的值后带入控制点坐标计算的，而是通过de Boor算法计算，但是在曲线内插、拟合、优化等后续话题中，都需要带入基函数的值。因此本节的目标是介绍给定任意参数u,计算一组\(N_{i,p}(u)\)值的算法。 Continue reading →

本节的目标为介绍B样条曲线的定义，以及其重要性质。这些性质，对样条曲线的应用起了决定性的作用。 Continue reading →

B样条的形式与Bezier曲线的定义方式相同：\(C(u) = \sum_{i=0}^n N_{i,n}(u)P_i \) 但是其基函数的形式有很大的变化。重要的一个不同是，B样条的基函数是定义在一组参数区间上的。这一节，我将介绍B样条的基函数。 Continue reading →

了解完一种特殊的nurbs曲线：贝塞尔曲线后,从本节开始，我将逐步介绍非均匀有理本样条曲线。理解bezier曲线的相关概念对NURBS的学习非常有帮助。本文的目标是介绍NURBS曲线的背景、主要应用和基本概念,并且介绍NURBS的前世今生。 Continue reading →

因为n阶bezier曲线的控制点个数为固定的n+1个，如果需要通过增加控制点个数达到更灵活控制bezier曲线的目的，那么需要将bezier曲线的阶数增加，同时保持曲线的形状不发生变化。 Continue reading →

业务中使用曲线的目的，主要是因为曲线具有高阶导数连续的特点。比如设计公路，不仅要求方向连续(\(G^1\))，而且还要求曲率连续。因此，求导是bezier曲线的一项基本而且重要的功能。 Continue reading →

贝塞尔曲线最常见的功能就是给定参数点u,计算对应曲线上的点C(u)。这个过程是正算过程，即给定参数求表达式的值。最简单的方法是根据公式，首先计算各基函数的值，然后与相应的控制点相乘，相加。但是这样会计算u的n次幂，有可能是数值不稳定的。本文介绍的德卡斯特里奥(De Casteljau’s)算法，是一种数值稳定的方法。 Continue reading →

计算机图形学中，我们已经接触了贝塞尔曲线的定义。在这篇文章里，我将从几何意义出发解释bezier曲线的定义与运用，为nurbs的学习奠定基础。 Continue reading →

从本篇开始，我将陆续介绍NURBS(Non-Uniform Relational B-Spline 非均匀有理B样条)有关的算法以及实现。作为背景，我们有必要了解参数曲线的知识。 Continue reading →